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By Jean Cousteix, Jacques Mauss

ISBN-10: 3540310029

ISBN-13: 9783540310020

Le yet du livre est de donner aux enseignants et aux ?tudiants (? partir de Bac+4) en math?matiques appliqu?es et en m?canique des fluides un outil d'enseignement et d'apprentissage illustr? par cinquante probl?mes accompagn?s de leur correction d?taill?e. Il pr?sente une nouvelle m?thode d'analyse asymptotique pour des probl?mes de "couche limite". Celle-ci est appel?e MASC "M?thode des Approximations Successives Compl?mentaires".

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A (ξ) Cas 1bis : a (x) > 0 avec a (0) = 0 Il est intéressant d’étudier le cas simple où a (x) = xp , p étant un réel positif. 6) s’écrit : ε dY d2 Y + O δ 2 = 0, + δ 1+p X p dX 2 dX avec : X= x . δ (ε) On suppose ici que 0 ≤ p < 1. Il est clair que l’épaisseur de la couche limite est telle que δ (ε) = ε1/(1+p) de sorte que la variable de couche limite est : X= x . ε1/(1+p) L’équation intérieure s’écrit : d2 Y0 dY0 = 0. 3 Analyse des différents cas (1) y (2) Dε 39 (3) Dε D β α x0 0 1 x Fig. 4. Forme de la solution dans le cas 3 avec : X exp − G (X) = 0 ξ 1+p 1+p dξ, de sorte que le raccord asymptotique : lim Y0 (X) = CG (∞) + α = lim y0 (x) = x→0 X→∞ β λ conduit à l’approximation : Y0 (X) = β −α λ G (X) + α, G (∞) et à l’approximation uniformément valable : ya (x, X) = α− β λ 1− G (X) + β exp − G (∞) x 1 b (ξ) dξ .

Ces deux équations permettent le calcul des deux constantes inconnues C1 et C2 . 4 Conclusion Les quelques exemples traités ici ne sont évidemment pas exhaustifs compte tenu des diverses hypothèses faites. Par ailleurs, le raccord asymptotique a été appliqué de façon « brutale » et ne permet pas d’aller beaucoup plus loin sans un formalisme plus poussé. Ainsi, toutes les limites utilisées doivent avoir un sens ce qui est loin d’être toujours le cas. Le formalisme nécessaire sera développé dans les chapitres suivants et nous reviendrons sur les équations différentielles pour étudier des cas qui ne peuvent faire l’objet d’une analyse aussi simple et pour améliorer les approximations obtenues.

Posant X1 = X et Y1 = Y, l’équation s’écrit : d2 Y dY = εa. + dX 2 dX Troisième étape. Le problème réduit pour cette équation s’écrit : d2 Y0 dY0 = 0. + dX 2 dX La solution générale est immédiate, on a : Y0 (X) = A + Be−X , où A et B sont deux constantes à déterminer. On vérifie naturellement la condition à l’origine, ce qui donne : Y0 (X) = A 1 − e−X . Ce qu’il y a de nouveau, c’est que l’on peut vérifier l’autre condition en x = 1. Le résultat obtenu est faux parce que le domaine de variation de X est très grand.

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Analyse asymptotique et couche limite by Jean Cousteix, Jacques Mauss


by Kevin
4.4

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