Otto Forster's Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3528272317

ISBN-13: 9783528272319

ISBN-10: 366314173X

ISBN-13: 9783663141730

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik suitable sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die research 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem three. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

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12 - c 2 , F(x t) ) = 0 im dreidimensionalen Raum ist. lF = ( ~ + ~ ~) cos(r- ct) r ar 2 r ar Nun ist a cos(r- ct) r ar a2 cos(r-ct) -ar2 r also Ll cos(r- ct) r cos(r-ct) sin(r-ct) r =- =- cos(r-ct) sin(r-ct) cos(r-ct) + 2 ---'-="--'-+2 ' r3 r2 r cos(r- ct) r · Andererseits ist a2 cos(r-ct) _ 2 cos(r-ct) , r -- c r ae woraus die Behauptung folgt. 44 Kapitel I. 1. Man untersuche, an welchen Stellen die Funktion f: IR 2 -+IR, (einmal) partiell differenzierbar ist und berechne dort ihre partiellen Ableitungen.

Der Vektor grad f(x) gibt also die Richtung des stärksten Anstiegs von f an. Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz ftir Funktionen einer Veränderlichen läßt sich so formulieren (An. I,§ 16, Corollar 1 zu Satz 2): Ist f: I-+ IR eine differenzierbare Funktion auf dem Intervall I C IR und sind x, x +~EI, so gibt es ein 8 E] 0, 1 [, so daß f(x + n - f(x) = f' (x + () ~). ~ . Setzt man zusätzlich voraus, daß f stetig differenzierbar ist, so folgt aus dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung f(x+n-f(x)= X+~ .

1''(1)<0 füralle 1E[a,ß]. p'(1)d1 =- Jllf'(t)lldt = sllf'(t)lldt. 1. Seien a, b, c, r E IR mit a < b, r > 0. Man berechne die Bogenlänge der Kurve f: [a, b] - IR 3 , f(t) := (r cost, r sin t, ct). 2. Sei c E IR* und f: IR- IR 2 , ((t) := (ect cost, ectsint). Die Kurve f heißt ,,logarithmische Spirale". a) Man skizziere die Kurve für c = 21" im Bereich - 27r ~ t ~ 27T. 33 § 5. Partielle Ableitungen b) Für [a, b] C IR sei La, b die Bogenlänge der Kurve f I[a, b]. Man berechne La, b. lim La, o ? c) Existiert a~- oo d) Man zeige, daß die logarithmische Spirale jeden Kreis um den Nullpunkt in genau einem Punkt schneidet und berechne den Cosinus des Schnittwinkels.

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Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


by Ronald
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