Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen - download pdf or read online

By Robert Sauer

ISBN-10: 3540022767

ISBN-13: 9783540022763

ISBN-10: 3642855970

ISBN-13: 9783642855979

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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1 eine vorgegebene Flache / = / (x, y) und auf ihr eine MONGESche Kurve. Dann bilden die Tangentenebenen der Flache langs der MONGESchen Kurve einen Streifen (Beruhrstreifen), der im allgemeinen verschieden ist yom MONGESchen Streifen der vorliegenden MONGESchen Kurve; denn die MONGESchen Kegel werden im allgemeinen die Flache / (x, y) schneiden. Wenn die Flache jedoch Integralflache ist, beruhrt sie die MONGESchen Kegel, und die Beruhrstreifen langs der auf ihr liegenden MONGESchen Kurven sind dann zugleich MONGESche Streifen.

12) sind fur aIle Geschwindigkeiten \ tJ\ ~ a vom hyperbolischen Typus. 4. 12) sind linear bezuglich der zweiten Ableitungen von q;, jedoch nicht schlechthin (d. h. bezuglich aller Ableitungen und q; selbst) linear. Man kann sie durch line are Naherungsgleichungen ersetzen, wenn man die Untersuchung auf einen Raum-Zeit-Bereich beschrankt, in dem die Abweichungen der Zustandswerte von gewissen Mittelwerten hinreichend klein sind, und diese Abweichungen nur linear berucksichtigt. Wir set zen also (nach geeigneter Drehung des Koordinatensystems) tJ = Ii + tJ' (x, y, z, t) mit b = (u, 0, 0), q; = (jj + q;' (x, y, z, t) mit q; = u x; die uberstrichenen Werte Ii und sind die konstanten Mittelwerte.

4) des DIRICHLETschen Randwertproblems konvergieren. Der Beweis ist in der obengenannten Arbeit von COURANT-FRIEDRICHS -LEWY durchgefiihrt. r b) Grenziibergang bei der Anfangswertaufgabe der Gl. 4). Wir geben zunachst die explizite Losung der in Ziff. 3 behandelten Anfangswertaufgabe an. Wie Gl. 7) zeigt, werden jeweils nur die Funktionswerte in den in Abb. l0 mit Kreisen bzw. Sternchen markierten Gitterpunkten durch die vorliegende Differenzengleichung miteinander verkniipft. Wir konnen uns daher weiterhin etwa auf die mit Kreisen markierten Punkte beschranken.

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Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer


by Charles
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